AI 中文总结
该研究证明了满足Ricci曲率下界条件且非复射影空间的紧Kähler流形的体积上界，确定了等号成立的充要条件，并将结果推广到K半稳定环面对数Fano对的情形。
AI 中文摘要
我们证明了一个尖锐体积间隙估计：若n维紧Kähler流形(X, ω)满足Ric(ω)≥(n+1)ω且X≅ℙⁿ不成立，则vol(X, ω)≤(2nⁿ/(n+1)ⁿ)vol(ℙⁿ, ω_FS)=(2^(n+1)πⁿnⁿ)/(n+1)ⁿ。当且仅当(X, ω)与二次超曲面Qⁿ上的Kähler-Einstein度量或乘积ℙ¹×ℙⁿ⁻¹双纯同构等距时，等号成立。我们还得到了K半稳定环面对数Fano对的尖锐体积间隙估计。
英文摘要
We prove a sharp volume gap estimate: if an $n$-dimensional compact Kähler manifold $(X, ω)$ satisfies $\mathrm{Ric}(ω)\ge (n+1)ω$ and $X\not\cong \mathbb{P}^n$, then $\mathrm{vol}(X, ω)\le \frac{2n^n}{(n+1)^n}\mathrm{vol}(\mathbb{P}^n,ω_{\mathrm{FS}})=\frac{2^{n+1} \, π^n \, n^n}{(n+1)^n}$. Moreover $\mathrm{vol}(X, ω)= \frac{2^{n+1} \, π^n \, n^n}{(n+1)^n}$ occurs if and only if $(X, ω)$ is biholomorphically isometric to the Kähler-Einstein metric on the quadric hypersurface $Q^n$ or on the product $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^{n-1}$. We also obtain sharp volume gap estimates for K-semistable toric log Fano pairs.
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