AI 中文总结
本文针对正实数集上的Hardy算子，证明了非增局部可积函数的反向Hardy不等式中Korenovskii提出的因子e/4可去除，得到最优常数α₀，解决了相关猜想。
AI 中文摘要
设Hf(x)=x⁻¹∫₀ˣf(t)dt为正实数集ℝ₊上的Hardy算子，Korenovskii证明对每个非增局部可积函数f，有‖Hf‖_{BMO}≥(eα₀/4)‖f‖_{BMO}，其中α₀由‖Hχ_{(0,1)}‖_{BMO}=α₀‖χ_{(0,1)}‖_{BMO}定义，且猜想因子e/4可去除。本文证明该猜想，即每个非增局部可积函数f满足‖Hf‖_{BMO}≥α₀‖f‖_{BMO}，常数α₀是最优的，对单阶跃函数χ_{(0,a)}取等。
英文摘要
Let $Hf(x)=x^{-1}\int_0^x f(t)\,dt$ be the Hardy operator on $\mathbb R_+$. Korenovskii proved that $$ \Vert Hf\Vert_{\mathrm{BMO}}\geq \frac{eα_0}{4}\Vert f\Vert_{\mathrm{BMO}}, $$ for every nonincreasing and locally integrable $f$, where $α_0$ is defined by the relation $\Vert Hχ_{(0,1)}\Vert_{\mathrm{BMO}} = α_0 \Vert χ_{(0,1)}\Vert_{\mathrm{BMO}}$, and conjectured that the factor $e/4$ could be removed. We prove this conjecture by showing that every nonincreasing locally integrable $f$ satisfies $$ \Vert Hf\Vert_{\mathrm{BMO}}\geq α_0\Vert f\Vert_{\mathrm{BMO}}. $$ The constant $α_0$ is optimal, with equality for the one-jump functions $χ_{(0,a)}$.
