AI 中文总结
本文针对子集和与k-SUM问题，提出改进的量子算法，将k-SUM最坏情况运行时间优化，结合7-SUM算法与块归约技术得到子集和问题的更优量子算法。
AI 中文摘要
子集和问题是指给定n个整数和一个目标值，判断是否存在某个整数子集的和等于目标值。其已知的最坏情况运行时间为O^*(2^{n/2})（Horowitz和Sahni，1974年），而最佳量子上界为O^*(2^{n/3})（Bernstein、Jeffery、Lange和Meurer，2013年）。k-SUM问题是子集和的参数化版本，即判断是否存在k个整数的和等于目标值。其最佳经典上界为\widetilde O(n^{\lceil k/2\rceil})，而最佳量子运行时间为\widetilde O(n^{k/3})（Tani，2009年）。对于随机实例，已知存在运行时间为\widetilde O(n^{\Phi_k})的量子算法，其中\Phi_k=\frac{2k-\lfloor k/7\rfloor-\lfloor (k+3)/7\rfloor}{6}（Schrottenloher，2021年）。本文提出一种新的量子算法，用于解决最坏情况k-SUM问题，运行时间为\widetilde O(n^{\Psi_k})，其中\Psi_k=\Phi_k-\frac{[k\equiv 3\bmod 7]}{9}-\frac{[k\equiv 6\bmod 7]}{18}。该算法不仅对所有模7余3或6的k值更快，还提供了最坏情况保证，而非仅针对单解随机实例的保证。将本文的7-SUM算法与标准块归约技术结合，可得到子集和问题的O^*(2^{2n/7})量子算法，优于之前已知的O^*(2^{n/3})算法。
英文摘要
The Subset Sum problem asks whether, given $n$ integers and a target, some subset of the integers sums to the target. Its best known worst-case running time is $O^*(2^{n/2})$ (Horowitz and Sahni, 1974), whereas the best quantum upper bound is $O^*(2^{n/3})$ (Bernstein, Jeffery, Lange, and Meurer, 2013). The $k$-SUM problem is a parameterized version of Subset Sum asking whether there are $k$ integers that sum to the target. The best classical upper bound for it is $\widetilde O(n^{\lceil k/2\rceil})$, whereas the best quantum running time is $\widetilde O(n^{k/3})$ (Tani, 2009). For random instances, a quantum algorithm with running time $\widetilde O(n^{Φ_k})$ is known, where $$ Φ_k=\frac{2k-\lfloor k/7\rfloor-\lfloor (k+3)/7\rfloor}{6} $$ (Schrottenloher, 2021). We present a new quantum algorithm solving worst-case $k$-SUM in time $\widetilde O(n^{Ψ_k})$, where $$ Ψ_k=Φ_k-\frac{[k\equiv 3\bmod 7]}{9}-\frac{[k\equiv 6\bmod 7]}{18}. $$ The algorithm is not only faster for all $k$ congruent to $3$ or $6$ modulo $7$, but also gives a worst-case guarantee rather than a guarantee restricted to single-solution random instances. Combining our algorithm for $7$-SUM with the standard block reduction technique yields an $O^*(2^{2n/7})$ quantum algorithm for Subset Sum, improving the previously known $O^*(2^{n/3})$ algorithm.
