涉及Omega函数的三维角构型
A three-dimensional corner configuration involving the Omega function
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中文总结 AI 辅助
该数学研究证明了具有正上Banach密度的三维自然数子集包含特定三维角构型，通过建立三重遍历平均的L²解耦定理完成证明。
中文摘要 AI 辅助
设Ω(n)表示n的素因子个数（计重数），我们证明：若A⊂ℕ³具有正的上Banach密度，则存在(x,y,z)∈ℕ³和d∈ℕ，使得(x,y,z)、(x+d,y,z)、(x,y+d,z)、(x,y,z+Ω(d))均属于A。为证该结果，我们针对与三个交换变换相关的三重遍历平均(1/N)∑ₙ=1ᴺ T₁ⁿf₁T₂ⁿf₂S^Ω⁽ⁿ⁾g，给出了L²解耦定理，该定理基于ℤ²作用中的各向异性因子与幂零结构。
英文摘要
Let $Ω(n)$ denote the number of prime factors of $n$, counted with multiplicity. We prove that if $A\subset\mathbb{N}^3$ has positive upper Banach density, then there are $(x,y,z)\in\mathbb{N}^3$ and $d\in\mathbb{N}$ such that $$(x,y,z),(x+d,y,z),(x,y+d,z),(x,y,z+Ω(d))\in A.$$ To establish the above result, we give an $L^2$-decoupling theorem for the triple ergodic averages $$ \frac1N\sum_{n=1}^N T_1^n f_1\,T_2^n f_2\,S^{Ω(n)}g $$ associated with three commuting transformations by isotropy factors and nilpotent structures in $\mathbb{Z}^2$-actions.
