AI 中文总结
本文针对带有一致椭圆型实对称矩阵的二阶椭圆型方程弱解，证明了其梯度的Lᵖ范数的有界性，拓展了迈尔斯定理的相关结果。
AI 中文摘要
我们考虑Ω⊂ℝᵈ上二阶椭圆型方程div(M∇u)=divF的弱解，该方程带有Dirichlet边界条件，其中M是一致椭圆型实对称矩阵，满足1/K |ξ|² ≤ ⟨Mξ,ξ⟩ ≤ K |ξ|²（∀ξ∈ℝᵈ，K>1）。我们证明对任意p∈((26K-16)/(13K-3), (26K-16)/(13K-13))，有‖∇u‖ₚ ≤ C‖F‖ₚ。
英文摘要
We consider weak solutions of the second-order elliptic equation $\operatorname{div} (\mathbf{M}\nabla u) = \operatorname{div}\mathbf{F}$ in $Ω\subset {\mathbb R}^d$ with Dirichlet boundary conditions, where $\mathbf{M}$ is a uniformly elliptic real-valued symmetric matrix $\mathbf{M}:Ω\rightarrow \mathbb{R}^{d\times d}$ such that $\frac{1}{K} |ξ|^2 \leq\langle \mathbf{M}ξ,ξ\rangle \leq K |ξ|^2, \forall ξ\in \mathbb{R}^d, K > 1$. We prove that $\|\nabla u\|_p \leq C\|\mathbf{F}\|_p$ for any $p\in \left(\frac{26K-16}{13K-3}, \frac{26K-16}{13K-13}\right)$.
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