模 $q - 1$ 下的塔马加瓦因子
Hearing Tamagawa Factors modulo $q - 1$
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中文总结 AI 辅助
该研究将阿贝尔簇的塔马加瓦因子与 $p$ 进拉普拉斯积分算子的小波特征值联系，通过局部 $L$ 因子、Serre 不变量的相关结果，证明了二者模 $q - 1$ 的同余关系。
中文摘要 AI 辅助
非阿基米德局部域 $K$ 上的阿贝尔簇 $A$ 关于素数 $p$ 的塔马加瓦因子，被发现模 $q - 1$ 同余于其 Néron 模型的 $O_K$ 有理点上的 $p$ 进拉普拉斯积分算子的小波特征值，其中 $q = p^f$ 是 $K$ 的剩余域的基数。该方法是将 $A$ 的 $K$ 有理点关于典范测度的体积，用 $\boldsymbol{\text{ℓ}}$ 进上同调上的 Frobenius 作用给出的局部 $L$ 因子和塔马加瓦因子表示，随后观察到该体积与这个紧 $p$ 进解析流形的 Serre 不变量模 $q - 1$ 一致。作者与 Á.M. Ledezma 此前关于“判定 Serre 不变量”的结果，进而得到了所断言的同余关系。
英文摘要
The Tamagawa factor w.r.t.\ the prime $p$ of an abelian variety $A$ over a non- archimedean local field $K$ is found to be congruent modulo $q - 1$ to the wavelet eigenvalues of a $p$-adic Laplacian integral operator on the $O_K$-rational points of its Néron model, where $q = p^f$ is the cardinality of the residue field of $K$. The method is to express the volume of the $K$-rational points of $A$ w.r.t.\ the canonical measure in terms of the local $L$-factor given by the Frobenius action on $\ell$-adic cohomolgy, and the Tamagawa factor; and then observe that this coincides with the Serre invariant of that compact $p$-adic analytic manifold modulo $q - 1$. A previous result by Á.M.\ Ledezma and the author on hearing Serre invariants then yields the asserted congruence.
