欧氏空间中图的多重距离拉姆齐界
Multiple Distance Ramsey Bounds For Graphs in Euclidean Spaces
AI总结：
该研究扩展了图副本框架与多重距离定理，证明了欧氏空间中图的多重距离拉姆齐下界，改进了部分图族的一般界，并构造了半对角压扁秩定理的加权强化版本。
AI中文摘要：
对于有限集 $A \subset \mathbb{R}_{>0}$ 和有限图 $H$，设 $\chi_H(\mathbb{R}^n;A)$ 为对 $\mathbb{R}^n$ 着色，使得不存在边在 $A$ 中、单色的 $H$ 副本所需的最小颜色数。我们扩展了 Axenovich、Liu 和 Sagdeev 的图副本框架以及 Naslund 的多重距离定理，证明对任意正整数 $m$，$\chi_H(\mathbb{R}^n;m):=\max_{\substack{A \subseteq \mathbb{R}_{>0} \\\\ |A|=m}} \chi_H(\mathbb{R}^n;A) \geq \left(\Gamma_{\chi}\sqrt{\frac{m+1}{\Xi(H)}}+o(1)\right)^n$。其中 $\Gamma_{\chi}$ 为常数，$\Xi(H)$ 是显式结构参数，可远小于 $|V(H)|-1$，由此恢复 Naslund 对完全图的类似界，并对许多图族改进了从对应团继承的一般界。过程中，我们构造了 Correia、Sudakov 和 Tomon 的半对角压扁秩定理的加权强化版本。
英文摘要：
For a finite set $A \subset \mathbb{R}_{>0}$ and a finite graph $H$, let $χ_H(\mathbb{R}^n;A)$ be the minimum number of colors required to color $\mathbb{R}^n$ while avoiding a monochromatic copy of $H$ whose edges have distances in $A$. Extending the graph-copy framework of Axenovich, Liu, and Sagdeev and a multiple distance theorem of Naslund, we prove for any positive integer $m$, \[χ_H(\mathbb{R}^n;m):=\max_{\substack{A \subseteq \mathbb{R}_{>0} \\ |A|=m}} χ_H(\mathbb{R}^n;A) \geq \left(Γ_χ\sqrt{\frac{m+1}{Ξ(H)}}+o(1)\right)^n.\] Here, $Γ_χ$ is a constant and $Ξ(H)$ is an explicit structural parameter that can be substantially smaller than $|V(H)|-1$, thereby recovering Naslund's similar bound for complete graphs and improving the general bound inherited from the corresponding clique for many graph families. Along the way, we construct a weighted strengthening of the semi-diagonal flattening rank theorem of Correia, Sudakov, and Tomon.
