f-路由的共享资源成本的鲁棒对数下界
Robust logarithmic entanglement lower bound for $f$-routing
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- COSIC, KU Leuven（KU鲁汶大学COSIC）
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中文总结 AI 辅助
该研究针对一轮f-路由问题，推导了共享资源成本E_dim的鲁棒对数下界，突破了此前需零误差的假设，通过矩阵近似与符号秩下界完成证明，E_dim的多项式下界仍待解决。
中文摘要 AI 辅助
在一轮f-路由中，Alice接收一个n比特字符串和一个未知量子比特，Bob接收另一个n比特字符串，他们各自交换一条同步消息，f的值决定哪一方必须恢复该量子比特。消息长度、局域系统和局域操作不受限制，我们仅对共享态的E_dim(ρ_LR)=log₂min{rankρ_L, rankρ_R}收费，其中ρ_LR是输入到达前准备的共享态，ρ_L、ρ_R分别为其左右边缘态，E_dim为边缘支撑维数的较小者的对数，该态可以是任意混合态。对于模2内积，我们证明：在两种路由情形下，以完整未减半的钻石范数衡量的最坏情况误差均不超过0.09的每一个协议，都满足dlog₂(2d)=Ω(n)，其中d=min{rankρ_L, rankρ_R}，因此d=Ω(n/log n)，且E_dim(ρ_LR)≥log₂n - log₂log₂n - O(1)。此前针对显式路由函数的最接近的增长型施密特秩下界，假设其中一种路由情形的误差为零。我们的证明将正确性转化为一个在两种路由情形的条目间具有恒定间隙的矩阵，用一个秩依赖于d但不依赖于消息或局域系统维数的矩阵近似该矩阵，最后通过模2内积矩阵的符号秩下界完成论证。E_dim的n次多项式下界仍是未解决的问题。
英文摘要
In one-round $f$-routing, Alice receives an $n$-bit string $x$ and an unknown qubit, and Bob receives an $n$-bit string $y$. They exchange one simultaneous message each and cannot communicate afterwards; the party selected by a Boolean function $f(x,y)$ must then recover the qubit. The parties may share unlimited entanglement in advance. When $f$ is the inner product modulo $2$, we prove that every protocol with worst-case error at most $0.09$ must use a shared state whose entanglement of formation grows at least logarithmically in $n$. The lower bound is robust: it tolerates constant error on both routing cases and covers arbitrary mixed states shared between Alice and Bob. Earlier growing lower bounds in this model, in contrast, require perfect recovery on at least one routing case. The bound is only logarithmic: a polynomial lower bound remains open.
