单纯形球面独立数的紧界
Sharp Bounds on the Independence Number of Simplicial Spheres
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中文总结 AI 辅助
该研究针对单纯形球面图的独立数，推导了非旗标与旗标单纯形球面独立数的渐近阶，还得出Bier球面独立数的上界，完善了相关组合几何的理论结果。
中文摘要 AI 辅助
我们研究单纯形球面图中独立集的最大规模。令β(d,n)表示n个顶点的所有(d-1)维单纯形球面对应的该最大值，α(d,n)表示限定为旗标(d-1)维球面时的对应最大值。对所有固定的d≥4，我们证明β(d,n)=n−Θ(n^{1/⌊d/2⌋})。对于旗标球面，我们证明对所有d≥4有α(d,n)≥n−4√n+O(1)，并确定在维度d=4、5时α(d,n)=n−Θ(√n)的正确渐近阶。我们还研究了Bier球面的独立集，表明与其他结果相反，对这个极大家族的球面，其独立数不超过⌊n/2⌋。
英文摘要
We study the maximum size of an independent set in the graph of a simplicial sphere. Let $β(d,n)$ denote this maximum over all simplicial $(d-1)$-spheres on $n$ vertices, and let $α(d,n)$ denote the maximum restricted to flag $(d-1)$-spheres. For every fixed $d\geq4$, we prove $β(d,n)=n-Θ(n^{1/\lfloor d/2\rfloor})$. For flag spheres, we show $α(d,n)\geq n-4\sqrt n+O(1)$ for all $d\geq4$ and determine the correct asymptotic order $α(d,n)=n-Θ(\sqrt n)$ for dimensions $d=4,5$. We also investigate the independence sets of Bier spheres and show that, in contrast to our other results, for this very large family of spheres, the independence number cannot be larger than $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.$
