AI 中文总结
该研究证明了赋范空间间有界线性算子的逼近数与s-数序列间的界，解决了相关经典猜想，还将结果推广到凸集宽度并讨论最优性，证明为初等方法。
AI 中文摘要
我们对每个s-数序列$(s_n)$、赋范空间间的每个有界线性算子$S$以及每个$n \in \mathbb{N}_0$，证明$a_n(S) \le e\\,(n+1)\\, s_n(S)$，其中$a_n$是逼近数，即最大的s-数。该结果在常数范围内是最优的，解决了可追溯至1963年的Mityagin、Henkin、Carl和Pietsch猜想。我们还将其推广到凸集的宽度并讨论其最优性，证明是初等的。
英文摘要
We prove $a_n(S) \le e\,(n+1)\, s_n(S)$ for every s-number sequence $(s_n)$, every bounded linear operator $S$ between normed spaces, and every $n \in \mathbb{N}_0$, where $a_n$ are the approximation numbers, which are the largest s-numbers. This is sharp up to the constant and settles conjectures of Mityagin, Henkin, Carl and Pietsch dating back to 1963. We also extend it to widths of convex sets and discuss optimality there. The proof is elementary.
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