关于Liu-Lou-Zhu的$\boldsymbol{\frak Q_p}$-Carleson嵌入猜想的一个反例
A Counterexample to the Liu--Lou--Zhu $\mathcal Q_p$--Carleson Embedding Conjecture
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中文总结 AI 辅助
该研究针对Liu等人提出的$0<p<1$时$\boldsymbol{\frak Q_p}$空间到帐篷空间的Carleson嵌入猜想，构造反例证伪该猜想，核心是融入康托型结构的新$\boldsymbol{\frak Q_p}$测试函数。
中文摘要 AI 辅助
本文中，我们证伪了Liu、Lou和Zhu提出的关于$0<p<1$时$\boldsymbol{\frak Q_p}$空间到帐篷空间的Carleson嵌入猜想。更确切地说，我们在单位圆盘$\boldsymbol{\frak D}$上构造了一个有限正$p$-Carleson测度$\boldsymbol{\frak \nu}$，使得典范嵌入$\boldsymbol{\frak id}:\boldsymbol{\frak Q_p}\to \boldsymbol{\frak T_{p,2}^2(\boldsymbol{\frak \nu})}$是无界的。核心要素是一类新的$\boldsymbol{\frak Q_p}$测试函数，它将单位圆周$\boldsymbol{\frak T}$上的康托型结构编码到$\boldsymbol{\frak Q_p}$空间中函数的解析行为中。该构造受第一和第三作者近期关于$\boldsymbol{\frak Q_p}$空间上复合算子工作的思想启发。
英文摘要
In this paper, we disprove a conjecture of Liu, Lou, and Zhu concerning Carleson embeddings of $\mathcal Q_p$ spaces into tent spaces for $0<p<1$. More precisely, we construct a finite positive $p$-Carleson measure $μ$ on the unit disc $\mathbb D$ such that the canonical embedding $$ \operatorname{id}:\mathcal Q_p \longrightarrow \mathcal T_{p,2}^2(μ) $$ is not bounded. The main ingredient is a new family of $\mathcal Q_p$ test functions that encodes Cantor-type structures on the unit circle $\mathbb T$ into the analytic behavior of functions in $\mathcal Q_p$. This construction is inspired by ideas developed in a recent work of the first and third authors on composition operators on $\mathcal Q_p$ spaces.
