AI 中文总结
该研究证明了莫雷拉定理的无穷小圆形版本，通过局部分布∂-原函数等方法，得出满足小圆形积分渐近消失条件的函数必全纯的结论。
AI 中文摘要
我们证明了莫雷拉定理的无穷小圆形版本。设D是复平面ℂ中的一个区域，f属于C(D)类函数。若对D中每一点a，当r→0⁺时，以a为圆心、半径为r的圆周上f(ζ)的积分∫_{|ζ-a|=r}f(ζ)dζ是o(r²)，则f在D内全纯。特别地，所有足够小的中心圆形积分的精确消失蕴含全纯性。该证明运用了局部分布∂-原函数、弱∂-导数的圆形恒等式以及调和性的逐点渐近均值准则。
英文摘要
We prove an infinitesimal circular version of Morera's theorem. Let $D\subset\mathbb{C}$ be a domain and let $f\in C(D)$. If, at every $a\in D$, $\int_{\vert{}ζ-a\vert{}=r}f(ζ)\,dζ=o(r^2)$ as $r\to0^+$, then $f$ is holomorphic in $D$. In particular, exact vanishing of all sufficiently small centered circular integrals implies holomorphicity. The proof uses a local distributional $\partial$-primitive, a circular identity for weak $\partial$-derivatives, and a pointwise asymptotic mean-value criterion for harmonicity.
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