AI 中文总结
本研究借助对数小平维数的光滑仿射曲面分类理论，对容许从C*×C*出发的有限满态射的复光滑仿射曲面进行分类，证明其对数小平维数只能为-∞或0，并确定了所有对应曲面，完成了Furushima于1989年提出的分类预期。
AI 中文摘要
我们对容许从 $\u003C$math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003E$\u003C/math\u003E\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}^*$ 出发的有限满态射的复光滑仿射曲面进行分类。借助依据对数小平维数的光滑仿射曲面分类理论，我们证明这类曲面的对数小平维数只能是 $-\infty$ 或 $0$，并确定了所有可能的情形。具体而言，对数小平维数为 $-\infty$ 的曲面仅有 $\u003C$math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003E$\u003C/math\u003E\mathbf{C}^2$ 和 $\u003C$math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003E$\u003C/math\u003E\mathbf{C}\times\mathbf{C}^*$，而对数小平维数为 $0$ 的曲面恰好是 $\u003C$math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003E$\u003C/math\u003E\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}^*$ 与 Fujita 曲面 $H[-1,0,-1]$。这一结果完成了 M. Furushima 于 1989 年提出的、对被 $\u003C$math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\u003E$\u003C/math\u003E\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}^*$ 正常支配的光滑仿射曲面的分类预期。
英文摘要
We classify smooth complex affine surfaces admitting a finite surjective morphism from $\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}^*$. Using the classification theory of smooth affine surfaces according to logarithmic Kodaira dimension, we show that every such surface has logarithmic Kodaira dimension either $-\infty$ or $0$, and determine all possibilities. More precisely, the only surfaces of logarithmic Kodaira dimension $-\infty$ are $\mathbf{C}^2$ and $\mathbf{C}\times\mathbf{C}^*$, while those of logarithmic Kodaira dimension $0$ are precisely $\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}^*$ and Fujita's surface $H[-1,0,-1]$. This establishes the classification of smooth affine surfaces properly dominated by $\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}^*$ anticipated by M.~Furushima in 1989.
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