AI 中文总结
该研究完成了所有维度下具有$d+4$个面的紧双曲考克斯特$d$维多面体的分类，证明了具有10个面的紧双曲考克斯特6维多面体唯一，并通过精确方法完成了候选类型的穷举验证。
AI 中文摘要
我们证明，在等距意义下，恰好存在一个具有10个面的紧双曲考克斯特6维多面体：该多面体记为$P_{6,10}$，其考克斯特图见Burcroff的图5，由Bugaenko提出。结合Lannér、Kaplinskaja、Esselmann以及Felikson-Tumarkin的结果，以及Burcroff和Ma-Zheng在4维和5维的独立分类，这完成了所有维度下具有$d+4$个面的紧双曲考克斯特$d$维多面体的分类。我们通过仿射Gale对偶从10个点的平面序型完整数据库中枚举了全部387个候选组合类型，利用Lannér分类的两个组合推论，以及已知的具有$d+2$个面的分类和5维具有9个面的分类，将候选类型缩减至11个，再通过对考克斯特标记的穷举搜索来判定这11个类型，且该搜索未对二面角施加先验约束。搜索以机器验证的穷尽证书终止，唯一留存的Gram矩阵在$\boldsymbol{\boldsymbol{\text{Q}}(\boldsymbol{\boldsymbol{\text{√2}},\boldsymbol{\boldsymbol{\text{√5}}})}$上得到精确验证，且由CoxIter独立验证。否定判定同样精确：通过整数和实二次域算术的正向检查，自行排除了11个类型中的10个；所有到达筛选阶段且未被接受的标记，均通过单个行列式的非零性在$\boldsymbol{\boldsymbol{\text{Q}}(\boldsymbol{\boldsymbol{\text{√2}},\boldsymbol{\boldsymbol{\text{√3}}},\boldsymbol{\boldsymbol{\text{√5}}})}$上被精确否定，另有19个案例通过紧化域上的区间算术被否定。所有判定均不依赖浮点容差或超平行权重的约束。同一未修改的代码路径可复现5维51个多面体和4维348个多面体的已知普查结果。代码、数据和证书均公开可用，大部分软件由AI助手在作者指导下编写。
英文摘要
We show that, up to isometry, there is exactly one compact hyperbolic Coxeter 6-polytope with 10 facets, the polytope $P_{6,10}$ attributed to Bugaenko. Together with results of Felikson-Tumarkin ($d \ge 7$) and of Burcroff and Ma-Zheng ($d = 4, 5$), this completes the classification of compact hyperbolic Coxeter $d$-polytopes with $d+4$ facets. The proof is computer assisted. Affine Gale duality applied to the complete database of order types on 10 points yields 387 combinatorial types, of which Lannér's classification excludes 83. For the remaining 304, an exhaustive search over Coxeter labellings, with no a priori bound on the dihedral angles, leaves a single realizable Gram matrix. Every rejection is certified in exact arithmetic, and completeness of the search is certified independently by DRAT proofs checked by drat-trim. The same code reproduces the known censuses in dimensions 4 and 5. Code, data and certificates are publicly available.
Comments10 pages, 2 tables
