发表机构
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
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该研究在格单纯形上建立离散唯一延拓问题，证明平衡点非零值对应的支撑基数下界，借助帕斯卡不确定性原理等完成证明，且指数最优，证明借助GPT-5.6 Sol辅助完成。
AI 中文摘要
对于整数N≥0和n≥2，令Δ_N^(n) = {α∈Z≥0^n: α₁+…+αₙ=N}。我们在该格单纯形上建立离散唯一延拓问题。给定整数R≥1，考虑函数g:Δ_{nR}^(n)→R，满足完全定向单纯形关系：对任意β∈Δ_{nR-1}^(n)，有∑_{i=1}^n g(β+e_i)=0，其中e_i是第i个标准基向量。我们证明，平衡点处的非零值会给出具有最优增长指数的支撑基数估计：若g(R,…,R)≠0，则|supp(g)|≥c_n R^⌈n/2⌉，这里c_n>0仅依赖于n。关键输入是帕斯卡不确定性原理。经阶乘归一化后，单纯形关系变为单个方向微分方程。非零平衡系数会产生一个单项式，其相关面图指数均很大，而张量积帕斯卡不确定性原理阻止了所有部分平移仿射图中的系数支撑同时稀疏。通过比较含两个坐标面的图并对不相交导数壳求和，得到该下界。显式构造表明指数⌈n/2⌉是最优的。该证明是通过人类引导的发现与探索，并借助GPT-5.6 Sol完成的。
英文摘要
For integers $N\ge0$ and $n\ge2$, let \[ Δ_N^{(n)} =\left\{α\in\mathbb Z_{\ge 0}^n: α_1+\cdots+α_n=N\right\}. \] We study discrete unique continuation for functions on this lattice simplex. For an integer $R\ge1$, let $g:Δ_{nR}^{(n)}\to\mathbb R$ satisfy \[ \sum_{i=1}^n g(β+e_i)=0, \qquad β\inΔ_{nR-1}^{(n)}, \] where $e_i$ is the $i$th standard basis vector. We prove that nonvanishing at the center implies \[ |\operatorname{supp} g|\ge c_n R^{\lceil n/2\rceil}. \] Here $\operatorname{supp} g$ is the set of points where $g$ is nonzero, and $c_n>0$ depends only on $n$. The exponent $\lceil n/2\rceil$ is optimal. The proof represents the values of $g$ as polynomial coefficients and uses a Pascal uncertainty principle, which bounds from below the total number of nonzero coefficients of a one-variable polynomial and its unit translate in terms of their degree.
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