AI 中文总结
本文针对小独立数图的团计数问题，证明了 $k\geq 4$ 时的下界，结合已有结果说明该界对 $k=2,3,4,5$ 均最优，还得到其他超饱和结果。
AI 中文摘要
我们证明，对于所有固定的 $k\geq 4$，任意 $N$ 个顶点且无大小为 $n$ 的独立集、且 $N\geq \Omega(n^{k-1}/\log^{k-2}n)$ 的图，至少包含 $\Omega\bigg(\binom Nk \Big(\frac{\log n}{n}\Big)^{\binom k2}/\log n\bigg)$ 个 $k$ 阶团。对于 $k\geq 5$，该结果在已知的 $r(k,n)$ 上界条件下是最优的；对于 $k=2$，由Turán定理可知该结论成立且紧；对于 $k=3$，由Bohman和Mubayi的结果可知成立且紧；本文还证明该界对 $k=4$ 也紧，且用相同方法得到其他超饱和结果。
英文摘要
We prove that for all fixed $k\geq 4$, any $N$ vertex graph with no independent set of size $n$ and $N\geq Ω(n^{k-1}/\log^{k-2}n)$ contains at least $$ Ω\bigg(\binom Nk \Big(\frac{\log n}{n}\Big)^{\binom k2}/\log n\bigg) $$ cliques of order $k$, and for $k\geq 5$ this is best possible conditional on the known upper bounds for $r(k,n)$. This is also true and tight for $k=2$ by Turán's Theorem and for $k=3$ by a result of Bohman and Mubayi. We show the bound is also tight for $k=4$. We obtain other supersaturation results using the same methods.
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