AI 中文总结
该研究针对一类带耦合的后向随机热方程系统，建立了其零能控性的充要非交换卡尔曼条件，通过分离随机动力学与热半群等方法完成证明并验证条件的必要性。
AI 中文摘要
我们研究一类具有常确定性耦合矩阵、标量空间扩散及局域漂移控制的n个后向随机热方程系统，该耦合同时作用于第一个状态和鞅被积项。我们建立了零能控性的充要代数条件：控制矩阵的列必须在两个耦合矩阵的联合非交换作用下生成状态空间。证明将随机内部动力学与标量热半群分离，证明了有限维随机格拉姆矩阵恰在联合字秩条件下为正，并满足多项式小时间强制估计。结合Lebeau–Robbiano谱不等式与高频耗散，这可得到对偶前向系统的能观性，进而得到零能控性；该条件也是必要的，若不满足则会产生非平凡的不变不可观子空间。
英文摘要
We study null controllability of backward stochastic heat systems with constant couplings in both the state and the martingale integrand, common scalar diffusion, and a localized drift control. We prove that null controllability is equivalent to a noncommutative word-rank condition on the two coupling matrices and the control matrix. The proof combines a factorization of the dual dynamics, positivity and small-time coercivity of a finite-dimensional stochastic Gramian, and a Lebeau--Robbiano spectral argument. Failure of the rank condition yields an invariant unobservable subspace.
