AI 中文总结
本文提出无背景流形的数学框架，从原始波场导出时空坐标连续统与自调节场，消除点状场相互作用的数学发散，证明紫外灾难源于经典扩散方程的点状表示。
AI 中文摘要
本文介绍了一个严格的数学框架，其中连续时空坐标连续统与自调节场动力学由称为原始波场的非局域周期基元推导得出。传统连续介质力学在预先存在的实数背景（$R$）上建模物理现象，这种方法在计算点状场相互作用时固有地引入了非物理的局域数学发散（奇点）。我们通过构建三层代数架构——基集$W_0$、交换环$W_A$和分式域$W_I$——来解决这些基础漏洞，该架构独立于任何背景坐标容器。利用通用同步时钟格上的最小基元跟踪算子，我们证明光滑时空坐标连续统自然涌现为稠密相交有理共振网络$Q$的拓扑完备化。最后，我们表明在该波数分式空间中直接构建物理场运算可自然正则化相互作用积分，消除逐点几何无穷大，使场传播本质上有界，无需依赖外部数学截断。该方法的一项应用表明，紫外灾难并非热扩散过程时间反向的固有属性，而是经典扩散方程的点状表示所导致的。
英文摘要
We formalize the algebraic structure of rational polynomial phase sequences (discrete chirps) over the integer lattice $\mathbb{Z}$. By constructing a convolution algebra generated by polynomial phases with coefficients in $\mathbb{Q}$, we establish a rigorous operational calculus for discrete difference equations. We prove an exact orthogonality relation for these sequences over finite periodic windows, yielding a generalized discrete Fourier isometry. Furthermore, we demonstrate that the continuum limit of this discrete framework can be rigorously defined via the inductive limit of finite-dimensional $C^*$-algebras (an AF-algebra). This framework provides a rigorous algebraic substrate for finite-mode lattice approximations in quantum mechanics and the construction of mutually unbiased bases in finite-dimensional quantum information theory.
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