AI 中文总结
该文研究有限域上西格尔抛物子群的退化主系列表示，证明其重数自由且不可约，分析相关缠结算子的性质，推导矩阵高斯和的结果以得到对称与交替可逆矩阵迹和行列式的等分布结论。
AI 中文摘要
我们研究有限域上的退化主系列表示$\text{Ind}_P^G\boldsymbol{\text{χ}}$，其中$G$是$\text{GL}_{2n}$的经典子群，$P$为西格尔抛物子群。例如，我们证明该表示对一般特征$\boldsymbol{\text{χ}}$总是重数自由且不可约的。随后讨论$\text{Ind}_P^G\boldsymbol{\text{χ}}$上的特定缠结算子$I$及其相关组合结构：其一，算子$I$生成具有良好本征值的可对角化反三角矩阵族；其二，将$I$作用于$\text{Ind}_P^G\boldsymbol{\text{χ}}$中的特殊向量可得到各类矩阵高斯和，其计算结果蕴含对称与交替可逆矩阵的迹和行列式的显式等分布结果。
英文摘要
We consider degenerate principal series representations $\operatorname{Ind}_P^Gχ$ over finite fields, where $G$ is a classical subgroup of $\operatorname{GL}_{2n}$, and $P$ is the Siegel parabolic subgroup. For example, we show that this representation is always multiplicity-free and irreducible for generic characters $χ$. We then discuss a particular intertwining operator $I$ on $\operatorname{Ind}_P^Gχ$ and its related combinatorics. Firstly, this operator $I$ produces families of diagonalizable antitriangular matrices with well-behaved eigenvalues. Secondly, applying $I$ to a special vector in $\operatorname{Ind}_P^Gχ$ leads us to various matrix Gauss sums, whose evaluations imply an explicit equidistribution result of the trace and determinant of symmetric and alternating invertible matrices.
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