发表机构
University of Manchester; University of Bristol（曼彻斯特大学; 布里斯托大学）
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该研究针对Steinhaus和Rademacher两类随机积性函数，证明其部分和的精确几乎处处上界，结合已有下界确定对数指数，解决了Harper的相关猜想。
AI 中文摘要
我们证明，对于Steinhaus随机积性函数或Rademacher随机积性函数f，对任意ε>0，几乎处处有|∑_{n≤x}f(n)|≪_{ε,f}√x(log log x)^{1/4+ε}。结合Harper的几乎处处下界，这确定了两种模型中精确的对数指数，解决了Harper关于随机积性函数大幅波动的猜想。
英文摘要
We prove that, for either a Steinhaus random multiplicative function or a Rademacher random multiplicative function $f$, and every $\varepsilon>0$, almost surely $|\sum_{n\le x}f(n)|\ll_{\varepsilon,f}\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4+\varepsilon}$. Together with Harper's almost sure lower bound, this determines the sharp logarithmic exponent in both models. This settles Harper's conjecture on the large fluctuations of random multiplicative functions.
Comments33 pages. v2: introduction and proof outline rewritten; references updated; discussion on recent related results inserted
