发表机构
Purdue University（普渡大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
利用高度振荡几何光学解，研究波动方程中零形式逆问题，在线性和弱非线性情形下分别通过光线变换和非阿贝尔变换恢复系数，并给出单射性条件。
AI 中文摘要
我们使用高度振荡的几何光学解来解决以下系统的逆问题：$$ \square \begin{bmatrix} u^{(1)}\\\\ u^{(2)}\\\\ \vdots\\\\ u^{(n)}\end{bmatrix} = \sum_{\substack{k,l=1\k\geq l}}^n \left(Q_0(u^{(k)},u^{(l)}) \begin{bmatrix} q_{1kl}\q_{2kl}\vdots\q_{nkl} \end{bmatrix} + \sum_{\substack{i,j=1\\ı>j}}^d Q_{ij}(u^{(k)},u^{(l)})\begin{bmatrix} p_{1ijkl} \\\\ p_{2ijkl} \\\\ \vdots \\\\ p_{nijkl} \end{bmatrix}\right), $$ 其中 $Q_0$ 和 $Q_{ij}$ 分别是对称和反对称双线性零形式。我们在线性和弱非线性两种情形下给出解。在线性情形中，我们证明 $h^3$ 阶系数决定了一个依赖于系数 $q_{rkl}, p_{rijkl}$ 的向量场的光线变换的单射性。在弱非线性情形中，我们看到 $h$ 阶系数决定了与这些系数相关的矩阵的非阿贝尔光线变换。虽然在这种情况下我们没有单射性结果，但如果我们假设系数不依赖于时间变量 $x_0$，则我们确实有单射性，因为我们的系数转而决定了一个单射的非阿贝尔 X 射线变换。
英文摘要
We use highly oscillatory geometric optics solutions to solve the inverse problem for the system $$ \square \begin{bmatrix} u^{(1)}\\ u^{(2)}\\ \vdots\\ u^{(n)}\end{bmatrix} = \sum_{k\geq l=1}^n \left(Q_0(u^{(k)},u^{(l)}) \begin{bmatrix} q_{1kl}\\q_{2kl}\\\vdots\\q_{nkl} \end{bmatrix} + \sum_{i>j=1}^d Q_{ij}(u^{(k)},u^{(l)})\begin{bmatrix} p_{1ijkl} \\ p_{2ijkl} \\ \vdots \\ p_{nijkl} \end{bmatrix}\right), $$ where $Q_0$ and $Q_{ij}$ are the symmetric and anti-symmetric bilinear null forms. We present solutions in both the linear and weakly nonlinear regimes. In the linear regime, we show that the coefficients of order $h^3$ determine an injective light-ray transform of a vector field which depends on the coefficients $q_{rkl}, p_{rijkl}$. In the weakly nonlinear regime, we see that the coefficients of order $h$ determine the non-abelian light ray transform for matrices associated with the coefficients. While we do not have an injectivity result for this case, we do have one if we assume the coefficients do not depend on the time variable $x_0$, as our coefficients instead determine an injective non-abelian X-ray transform.
Comments15 pages
