发表机构
Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501, Université de Strasbourg et CNRS（斯特拉斯堡大学与法国国家科学研究中心联合数学高级研究所）
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本文针对G. Racinet引入的双洗牌李代数$\boldsymbol{\frak{dmr}}_0$，证明其中任意元素均满足无穷小六边形方程，证明方法是比较两个不同的Hopf代数。
AI 中文摘要
多重zeta值代数研究中，G. Racinet引入双洗牌李代数$\boldsymbol{\frak{dmr}}_0$；本文证明对任意$\boldsymbol{\frak{dmr}}_0$中的$\boldsymbol{\frak{\text{ψ}}}$，其满足无穷小六边形方程$\boldsymbol{[\boldsymbol{\frak{\text{ψ}}}(x,y),x]+[\boldsymbol{\frak{\text{ψ}}}(-x-y,y),-x-y]=0}$，证明通过比较两个不同的Hopf代数完成。
英文摘要
In this note, we prove that for every Lie series $ψ$ with no terms of degree less than 3, the relation $$[ψ(x,y),x]+[ψ(-x-y,y),-x-y]=0$$ is equivalent to $S_*(ψ_*)=-ψ_*$, where $ψ_*$ denotes the regularization of $ψ$ and $S_*$ is the harmonic antipode. The proof relies on the calculations of the harmonic antipode $S_*$ and the shuffle antipode $S$. As a consequence, we prove that every $ψ$ in Racinet's double shuffle Lie algebra $\mathfrak{dmr}_0$ satisfies the relation $[ψ(x,y),x]+[ψ(-x-y,y),-x-y]=0$. We further prove that $\mathfrak{dmr}_0$ injects into the symmetric Kashiwara--Vergne Lie algebra $\mathfrak{krv}^{\mathrm{sym}}_2$ of Alekseev and Torossian.
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