3-均匀超图中不同极大团的大小
On the distinct maximal-clique sizes in $k$-uniform hypergraphs
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中文总结 AI 辅助
针对3-均匀超图中极大团不同大小的最大数目相关问题，本文确定f(n,3)的阶为Θ(log*n)，否定了Gao关于f(n,k)与分层树阈值c(n,k)关系的猜想，并提出固定k≥3时f(n,k)=Θ_k(2^{c(n,k)})的猜想。
中文摘要 AI 辅助
设$g(n,k)$为$n$个顶点的$k$-均匀超图中极大团的不同大小的最大可能数目，$f(n,k)=n-g(n,k)$。图的情况中，Spencer于1971年证明$f(n,2)=\boldsymbol{\theta}(\boldsymbol{\text{log}}\boldsymbol{n})$。对于3-均匀超图，Erdős构造例子表明$f(n,3)\boldsymbol{\text{≤}}\boldsymbol{\text{log}}^*\boldsymbol{n}\boldsymbol{+}\boldsymbol{O(1)}$，其中$\boldsymbol{\text{log}}^*\boldsymbol{n}$是使迭代对数$\boldsymbol{\text{log}}\boldsymbol{\text{log}}\boldsymbol{\text{…}}\boldsymbol{\text{log}}\boldsymbol{n}\boldsymbol{<}\boldsymbol{1}$的迭代次数。近期Gao（JCT-B，2026）证明$f(n,3)\boldsymbol{\text{≥}}\boldsymbol{\text{log}}\boldsymbol{\text{log}}^*\boldsymbol{n}\boldsymbol{-}\boldsymbol{O(1)}$，解答了Erdős提出的问题；同篇论文中Gao定义了相关的分层树阈值$c(n,3)$，并询问是否$f(n,k)=\boldsymbol{\theta}(c(n,3))$。本文确定了正确的阶：$f(n,3)=\boldsymbol{\theta}(\boldsymbol{\text{log}}^*\boldsymbol{n})$，由于$c(n,3)=\boldsymbol{\text{log}}\boldsymbol{\text{log}}^*\boldsymbol{n}\boldsymbol{+}\boldsymbol{O(1)}$，该结果给出$k=3$时Gao问题的否定答案，最后提出猜想：对每个固定的$k\boldsymbol{≥}\boldsymbol{3}$，$f(n,k)=\boldsymbol{\theta}_k(\boldsymbol{2}^{c(n,k)})$。
英文摘要
Let $g(n,k)$ be the maximum number of distinct sizes of maximal cliques in an $n$-vertex $k$-uniform hypergraph, and let $f(n,k)=n-g(n,k)$. We determine the asymptotic order of $f(n,k)$ for every fixed integer $k\ge 3$. Define $L_2(x)=\max\{2,\log_2(\max\{1,x\})\}$, and, for $j\ge 3$, let $L_j(x)$ be the least number of iterations of $L_{j-1}$ needed to reach a value at most $16$. We prove that $$ f(n,k)=Θ_k(L_k(n)).$$ In particular, $f(n,3)=Θ(\log^{*}n)$, where $\log^{*}n$ denotes the iterated logarithm. We also determine the asymptotic behaviour of the layered-tree threshold $c(n,k)$ arising from Gao's insertion-tree method: $$ c(n,k)=\log_2 L_k(n)+O_k(1). $$ Consequently, $f(n,k)=Θ_k\!\left(2^{c(n,k)}\right)$. Our result gives a negative answer to Gao's question in the case $k=3$.
发表机构
- Nanjing University（南京大学）
- East China Normal University（华东师范大学）
- Central China Normal University（华中师范大学）
- Yokohama National University（横滨国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
