有限域上多项式环 Fq[x] 中非覆盖同余系的渐近界
An Asymptotic Bound for Non-covering Congruence Systems over Fq[x]
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中文总结 AI 辅助
本文针对 Fq[x] 中 n 个同余类构成的非覆盖族，在已知其遗漏次数小于 n 的多项式的基础上，结合极小反例归约与截断容斥等方法，证明了非覆盖族遗漏多项式最小次数最大值的渐近界 D_q(n)=n/(q-1)+O_q(1)，是作者2025年工作的后续成果。
中文摘要 AI 辅助
设 q 为素数幂，D_q(n) 为 Fq[x] 中 n 个同余类构成的非覆盖族所遗漏多项式的最小次数的最大值。已知定理指出，每个 n 类非覆盖族都会遗漏次数小于 n 的多项式，在此前提下，本文证明 D_q(n)=n/(q-1)+O_q(1)。上界通过极小反例归约为不可约模问题，结合截断容斥（Brun筛）论证得到；嵌套模构造则给出匹配下界。本研究是作者2025年工作的后续成果。
英文摘要
Fix a prime power $q$. Let $D_q(n)$ be the largest possible least degree of a polynomial omitted by a non-covering family of $n$ congruence classes in $\mathbb F_q[x]$. Assuming the known theorem that every non-covering family of $n$ classes omits a polynomial of degree less than $n$, we prove \[ D_q(n)=\frac{n}{q-1}+O_q(1). \] The upper bound combines a minimal-counterexample reduction to irreducible moduli with a truncated inclusion--exclusion (Brun sieve) argument. A nested-modulus construction gives the matching lower bound. This is a follow-up to the author's 2025 work.
