AI 中文总结
该论文研究一类斜积系统，证明当 $|\det(A)|\ell$ 取不同范围值时对应螺线管吸引子的豪斯多夫维数、SRB 测度的性质，并引入导数弥散条件替代横截性条件。
AI 中文摘要
我们研究斜积系统 $T: \mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^d \to \mathbb{S}^1 \times\mathbb{R}^d$，其中 $T(x,y)=(\ell x, A y+\phi(x))$，$\ell\geq 2$，$A \in GL_d(\mathbb{R})$ 且 $\rho(A)<1$，$\phi \in C^r(\mathbb{S}^1, \mathbb{R}^d)$。我们允许纤维取任意维数，$A$ 可为非共形映射。我们证明：当 $|\det(A)|\ell<1$ 时，对几乎所有 $\phi$，螺线管吸引子的豪斯多夫维数与 SRB 测度等于仿射维数；当 $|\det(A)|\ell>1$ 时，对几乎所有 $\phi$，SRB 测度是绝对连续的。我们引入导数弥散条件，以替代通常的横截性条件。
英文摘要
We study the skew product systems $T: \mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^d \to \mathbb{S}^1 \times\mathbb{R}^d$, \begin{equation*} T(x,y)=(\ell x, A y+ϕ(x)), \end{equation*} where $\ell\geq 2,$ $A \in GL_d(\mathbb{R})$ with $ρ(A)<1$, and $ϕ\in C^r(\mathbb{S}^1, \mathbb{R}^d)$. We allow the fibers to have any dimension and $A$ to be non-conformal. We show that: when $|\det(A)|\ell<1$, for almost every $ϕ$, the Hausdorff dimension of the solenoid attractor and the SRB measure equals the affinity dimension; when $|\det(A)|\ell>1$, for almost every $ϕ$, the SRB measure is absolutely continuous. We introduce a derivative dispersion condition, replacing the usual transversality condition.
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