AI 中文总结
该研究针对有理Hartogs三角上的$\bar{\partial}$问题，证明了全$L^p(1<p<\infty)$有界解算子的存在性（无需数据先验条件），还给出了典范解的$L^p$有界区间，对经典Hartogs三角得到$p\in(1,4)$的有界性结果。
AI 中文摘要
我们研究有理Hartogs三角$\mathbb{H}_{m/n} = \{ (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2 : |z_1|^m < |z_2|^n < 1 \}$上$\bar{\partial}$问题的$L^p$估计。当$p \in (1, \infty)$时，我们证明存在一个在$L^p(\mathbb{H}_{m/n})$上有界的解算子，我们的方法无需对数据施加任何先验条件。我们还证明，典范解$K_{\mathbb{H}_{m/n}}$在$p \in (p_0, p_2)$时在$L^p(\mathbb{H}_{m/n})$上有界，其中$p_0=\frac{2m+2n}{m+n+1+\min\{m, n\}}$，$p_2=\frac{2m+2n}{m+n-1}$。对于经典Hartogs三角$\mathbb{H}_1$，这确立了$p \in (1, 4)$时的有界性。
英文摘要
We investigate $L^p$ estimates for the $\bar{\partial}$-problem on rational Hartogs triangles $\mathbb{H}_{m/n} = \{ (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2 : |z_1|^m < |z_2|^n < 1 \}$. For $p \in (1, \infty)$, we establish the existence of a solution operator that is bounded on $L^p(\mathbb{H}_{m/n})$. Our approach avoid the need for any {\it a priori} condition on the data. We also show that the canonical solution $K_{\mathbb{H}_{m/n}}$ is bounded on $L^p(\mathbb{H}_{m/n})$ for $p \in (p_0, p_2)$, where $p_0=\frac{2m+2n}{m+n+1+\min\{m, n\}}$ and $p_2=\frac{2m+2n}{m+n-1}$. For classical Hartogs triangle, $\mathbb{H}_1$, this establishes boundedness for $p \in (1, 4)$.
