AI 中文总结
该研究针对特定同余类素数对应的两类Mordell曲线，显式构造mock Heegner点，验证Gross-Zagier公式，证明其BSD公式在2-adic单位意义下成立，并结合已有结果证明部分秩0曲线的完整BSD公式成立。
AI 中文摘要
对于自然数$a$，设$E_{2a}$为Mordell椭圆曲线$X^3+Y^3=2a$。在假设2不是模$p$的三次剩余的条件下，我们对满足$p\not\neq 4 \bmod 9$的素数$p$对应的$E_{2p}$，以及满足$p\not\neq 7 \bmod 9$的素数$p$对应的$E_{2p^2}$，给出了Mordell曲线上（mock）Heegner点的显式构造。我们还验证了这些曲线对应的显式Gross-Zagier公式，并进一步证明这些曲线的BSD公式在2-adic单位意义下成立。利用Burungale-Flach的结果，我们证明当2不是模$p$的三次剩余时，秩为0的曲线$E_{2p}$（对应$p\not\neq 7 \bmod 9$）和$E_{2p^2}$（对应$p\not\neq 4 \bmod 9$）的完整BSD公式成立。
英文摘要
For a natural number $a$, let $E_{2a}$ be the Mordell elliptic curve $X^3 +Y^3=2a$. We give an explicit construction of (mock) Heegner point on the Mordell curve $E_{2p}$ for a prime $p\equiv 4 \mod 9$ and $E_{2p^2}$ for a prime $p\equiv 7 \mod 9$, under the assumption that $2$ is not a cube modulo $p$. We also verify the explicit Gross-Zagier formula for these curves and go on to show that the BSD formula holds for these curves up to a $2$-adic unit. Using a result of Burungale-Flach, we show that the full BSD formula holds for the rank zero curve $E_{2p}$ for $p\equiv 7 \mod 9$ and $E_{2p^2}$ for $p\equiv 4 \mod 9$, whenever $2$ is not a cube modulo $p$.
