AI 中文总结
研究在特定假设下球多面体中顶点检索问题，利用最大指标多面体顶点随参数在特定线上滑动的特性，通过扰动目标点，证明对称扰动多面体交集情况，进而能用线性规划检索满足条件的唯一顶点。
AI 中文摘要
所谓的“最大指标多面体”在文献[mainB]中被引入，它是与在球\(\mathcal{Q}\)的交集中从给定目标点\(C_S\)找到最远点问题相关的半空间的交集。研究表明，如果目标点属于球心的凸包，那么特定的半空间交集形成一个单实变量参数化多面体族，用于刻画极点。本文在相交球心位于一个球面上且半径都相等，并且\(\mathcal{Q}\)只有一个顶点\(x\)满足\(1_{n \times 1}\cdot x = 0\)的假设下，提供了一种有效算法来检索该顶点。结果背后的主要思想是，随着族参数变化，最大指标多面体的顶点在一些我们称为顶点轨迹的线上滑动，这些线穿过空间原点和\(\mathcal{Q}\)的顶点。沿着\(1_{n\times 1}\)方向上下扰动目标点\(C_S\)，我们能够证明两个对称扰动的最大指标多面体的交集严格包含在未扰动的多面体中，唯一的边界公共点在连接原点与满足\(1_{n\times 1}^T\cdot x = 0\)的\(\mathcal{Q}\)顶点的线上。因此，在上述假设下，可以使用线性规划检索唯一这样的顶点。
英文摘要
We consider the intersection $\mathcal{Q}$ of $m$ equal-radius balls in $\mathbb{R}^n$ whose centers lie on a common sphere centered at the origin, with the origin contained in the convex hull of the centers. Assuming $\mathcal{Q}$ possesses a unique vertex $x^{\star}$ lying on the hyperplane $1_{n \times 1}^T \cdot x=0$, under a combinatorial-stability assumption, we give a polynomial-time algorithm that recovers $x^\star$. The algorithm constructs a one-parameter family of auxiliary polytopes (max-indicator polytopes) whose vertices move radially under a controlled translation of a quadratic center. The distinguished vertex remains fixed, while all others travel along fixed rays. By comparing a pair of symmetrically perturbed polytopes with the unperturbed one and solving a linear number of linear programs, the algorithm isolates $x^\star$.
