关于四维流形上\(Q\)-曲率的Bonnet-Myers型定理
Bonnet-Myers type theorems for $Q$-curvature on four-manifolds
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中文总结 AI 辅助
研究完备四维黎曼流形\((M^4,g)\)，在数量曲率\(R_g\)有正下界时，探讨\(Q\)-曲率\(Q_g\)的下界对\(M^4\)紧致性的影响，以及\(Q_g/R_g\)的下界与\(M^4\)直径的关系。
中文摘要 AI 辅助
考虑一个完备的四维黎曼流形\((M^4,g)\)，其数量曲率\(R_g\)有正的下界。首先，若\(Q\)-曲率\(Q_g\)也有正的下界，则\(M^4\)是紧致的。其次，若\(Q_g/R_g\)有正的下界\(k\)，则\(M^4\)的直径小于或等于\(4\pi /\sqrt{15k}\)。
英文摘要
Let $(M^4,g)$ be a complete four-dimensional Riemannian manifold. First, if the $Q$-curvature $Q_g\geq 6k^2$ and scalar curvature $R_g\geq -12k$ for some positive constant $k$, then $(M^4,g)$ is either Einstein with $Ric_g=-3kg$ or compact with $R_g\ge 12k$. As a corollary, the fundamental group $π_1(M^4)$ satisfies $|π_1(M^4)|\leq 16π^2/(\int_{M^4}Q_g dμ_g),$ under the additional assumption $R_g>-12k$. Second, if the scalar curvature $R_g>0$ and $Q_g\geq θR_g$ for a positive constant $θ$, then $M^4$ is compact and the diameter of $(M^4,g)$ is at most $4π/\sqrt{15θ}$.
