关于不相交剩余类的大最大公因数问题
On the problem of large gcd for disjoint residue classes
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中文总结 AI 辅助
研究\(k\)个两两不相交剩余类，通过使用边由模的最大公因数染色的完全图等方法，证明了\(\max_{1\leq i<j\leq k}\gcd(m_i,m_j)\)与\(k\)的一个下界关系。
中文摘要 AI 辅助
考虑\(k\)个两两不相交的剩余类\(a_i \pmod{m_i}\)。我们证明了\(\max_{1\leq i<j\leq k}\gcd(m_i,m_j) \gg k\exp\!\left(-(2+o(1)) \sqrt{\frac{\log k}{\log\log k}}\right)\)。证明使用了一个边由相应模的最大公因数染色的完全图，以及一个结构引理、筛理论划分、莫比乌斯反演和离散傅里叶变换。
英文摘要
Consider $k$ pairwise disjoint residue classes $a_i \pmod{m_i}$. We prove that \[ \max_{1\leq i<j\leq k}\gcd(m_i,m_j) \gg k\exp\!\left(-(2+o(1)) \sqrt{\frac{\log k}{\log\log k}}\right). \] The proof uses a complete graph whose edges are colored by the gcds of the corresponding moduli, together with a structural lemma, a sieve-theoretic partition, Möbius inversion, and the discrete Fourier transform.
