AI 中文总结
研究在实数有序域的\(O -\)极小扩张中，给定满足一定条件的\(C^1\)函数，通过特定序列构造出一个封闭的紧区域，核心方法是利用函数性质及序列设定，主要贡献是得到紧区域的构造。
AI 中文摘要
固定实数有序域的一个\(O -\)极小扩张\(\mathcal{R}=(\mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1 <,...)\)。给定在可定义单元\(M\)上的\(C^1\)函数\(f_1,...,f_k\)，\(g_1,...,g_k:M\to\mathbb{R}\)，定义相关函数\(h_{i,0}\)和\(h_{i,1}\)。假设对于所有\(\tau\in 2^{[k]}\)，\(H_{\tau}\)正则且恰当，且对于所有\(i\in[k]\)，\(\{f_i = 0\}\)和\(\{g_i = 0\}\)连通且不相交。我们证明存在一个序列使得封闭区域是紧的。
英文摘要
Fix an o-minimal expansion $\mathcal{R}=(\mathbb{R},+,\cdot,0,1 <,...)$ of the real ordered field. Given $C^1$ functions $f_1,...,f_k$, $g_1,...,g_k:M\to\mathbb{R}$ on a definable cell $M$, let $h_{i,0}$ denote $f_i$ and $h_{i,1}$ denote $g_i$. Suppose that for all $τ\in 2^{[k]}$, $H_τ=(h_{1,τ(1)},..,h_{k,τ(k)}) :M\to \mathbb{R}^k$ is regular and proper on $M$, and that for all $i\in[k]$, $\{f_i=0\}$ and $ \{g_i=0\}$ are connected, and $\{f_i=0\}\cap \{g_i=0\}=\emptyset$. We show that then there exists a sequence $(\square_{i,ε}:i\in[k],ε\in \{0,1\})\in\{\leq ,\geq \}^{[k]\times\{0,1\}}$ such that the enclosed region $\underset{i\in[k]}{\bigcap}\{ f_i\square_{i,0} 0\}\cap \{ g_i\square_{i,1} 0\} $ is compact.
