椭圆曲线的决策树、弗罗贝尼乌斯迹和韦尔斯特拉斯系数
Decision trees, Frobenius traces, and Weierstrass coefficients of elliptic curves
- Temple University（天普大学）
- University of Connecticut（康涅狄格大学）
- Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）
- University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
- University of Westminster（威斯敏斯特大学）
- Princeton University（普林斯顿大学）
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AI总结：
研究有理数域上椭圆曲线约化最小韦尔斯特拉斯系数与弗罗贝尼乌斯迹的关系，用决策树模型发现可由特定素数处的迹及导体奇偶性恢复系数，还证明了新的显式公式，推断出系数由同构类决定。
AI中文摘要：
我们研究了在有理数域上椭圆曲线的约化最小韦尔斯特拉斯系数能在多大程度上由其弗罗贝尼乌斯迹计算得出。决策树模型表明，前两个约化最小韦尔斯特拉斯系数可从素数2和3处的弗罗贝尼乌斯迹精确恢复，第三个系数可通过导体奇偶性补充这两个迹来恢复。随后我们用弗罗贝尼乌斯迹和导体奇偶性证明了这些系数的显式公式，这些公式似乎是新的。特别地，我们推断椭圆曲线的前三个约化最小韦尔斯特拉斯系数由其同构类决定。
英文摘要：
We investigate the extent to which the coefficients $(w_1,w_2,w_3,w_4,w_6)$ of the reduced minimal Weierstrass model of an elliptic curve $E/\mathbb{Q}$ are determined by the Dirichlet coefficients $a_n(E)$ of its $L$-function, whose values at primes of good reduction are the Frobenius traces of $E$. We prove that $w_1$, $w_2$ and $w_3$ are given by explicit formulae in $a_2(E)$, $a_3(E)$ and $a_4(E)$, that $w_4$ modulo $5$ is then determined by $a_5(E)$, and that $w_6$ modulo $7$ is determined by $a_7(E)$ together with $w_1,w_2,w_3,w_4$. These formulae, which appear to be new, were discovered by training decision tree models on the LMFDB; we report the accompanying experiments and explore applications to computing tables of elliptic curves.
