KLS常数为$O(\log^{1/4} n)$
The KLS constant is $O(\log^{1/4} n)$
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中文总结 AI 辅助
研究证实二次型的Kannan - Lovász - Simonovits猜想，通过对特定对称矩阵应用该结论，证明了Kannan - Lovász - Simonovits常数$\psi_n$满足$\psi_n\leq C\log^{1/4}n$，给出了该常数与对数函数的关系。
中文摘要 AI 辅助
我们证实了二次型的Kannan - Lovász - Simonovits猜想：若$X \sim \mu$是$\mathbb{R}^n$中的各向同性对数凹随机向量，对于任意对称矩阵$M$，有$\operatorname{Var}_{X \sim \mu}(\langle MX,X\rangle) \leq 2\,\mathbb{E}_{X \sim \mu}|\nabla\langle MX,X\rangle|^2$。作为应用，将上述结论应用于$M=\mathbb{E}_{X \sim \mu}(\langle X,\theta\rangle X\otimes X)$，证明了Kannan - Lovász - Simonovits常数$\psi_n$满足$\psi_n\leq C\log^{1/4}n$。
英文摘要
We confirm the Kannan--Lovász--Simonovits conjecture for quadratic forms: if $X \sim μ$ is an isotropic log-concave random vector in $\mathbb{R}^n$, then for any symmetric matrix $M$ one has $$ \operatorname{Var}_{X \sim μ}(\langle MX,X\rangle) \leq 2\,\mathbb{E}_{X \sim μ}|\nabla\langle MX,X\rangle|^2. $$ As an application, we apply the above to $M=\mathbb{E}_{X \sim μ}(\langle X,θ\rangle X\otimes X)$ for $θ\in S^{n-1}$ and show that the Kannan--Lovász--Simonovits constant $ψ_n$ satisfies $$ ψ_n\leq C\log^{1/4}n $$ for some absolute constant $C>0$.
