AI 中文总结
研究关于无限广义西顿集厚度问题，针对偶数\(h\)及\(B_h\)集，通过特定证明得出\(\liminf_{n\to\infty} \frac{ | \mathcal{A}\cap[0,n) | }{\sqrt[h]{n/\log n}}\)的不等式，给出其上限。
AI 中文摘要
非负整数集\(\mathcal{A}\)若满足当\(a_1\leq\cdots\leq a_h\)且\(a_i\in\mathcal{A}\)时，和\(a_1 + \cdots + a_h\)各不相同，则它是一个\(B_h\)集；\(B_2\)集即西顿集。我们证明了对于每个偶数\(h\)和每个\(B_h\)集\(\mathcal{A}\)，有\(\liminf_{n\to\infty} \frac{ | \mathcal{A}\cap[0,n) | }{\sqrt[h]{n/\log n}} \leq \left(\frac{\pi}{\log 2} \cdot \frac{\Gamma(1+h/2)^2}{\Gamma(1+1/h)^{h}}\right)^{1/h}\)。
英文摘要
A set $\mathcal{A}$ of nonnegative integers is a $B_h$-set if the sums $a_1+\cdots+a_h$ with $a_1\le\cdots\le a_h$ and $a_i\in\mathcal{A}$ are distinct; a $B_2$-set is a Sidon set. We prove that for every even $h$ and every $B_h$-set $\mathcal{A}$, \[ \liminf_{n\to\infty} \frac{ | \mathcal{A}\cap[0,n) | }{\sqrt[h]{n/\log n}} \le \left(\fracπ{\log 2} \cdot \frac{Γ(1+h/2)^2}{Γ(1+1/h)^{h}}\right)^{1/h}. \]
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