AI 中文总结
研究了同质空间中弱孔隙集的性质，证明了弱孔隙集与A₁类权重之间的关系，以及在不依赖Lebesgue微分定理情况下双倍性条件的等价性。
AI 中文摘要
基于Muckenhoupt权重理论，给出了以下两个蕴含关系的简短且概念更简单的证明：(1) 如果(X, d, μ)是一个同质空间，其中d-球是开集，并且Lebesgue微分定理成立，且E⊂X是一个弱孔隙集，其最大E-free孔函数ρ_{d,E}是双倍的，那么dist(·,E)^{-α}∈A₁(X, d, μ)对于某些α>0；(2) 不再假设Lebesgue微分定理成立的情况下，如果dist(·,E)^{-α}∈A₁(X, d, μ)对于某些α>0，则ρ_{d,E}是双倍的。
英文摘要
Based on the theory of Muckenhoupt weights, short and conceptually simpler proofs are provided for the following two implications: (1) if $(X, d, μ)$ is a space of homogeneous type where $d$-balls are open sets and the Lebesgue differentiation theorem holds true and if $E \subset X$ is a weakly porous set whose maximal $E$-free hole function $ρ_{d, E}$ is doubling, then $\dist{\cdot, E}^{-α} \in A_1(X, d, μ)$ for some $α> 0$; and (2) now without the assumption on the validity of Lebesgue's differentiation theorem, if $\dist{\cdot, E}^{-α} \in A_1(X, d, μ)$ for some $α> 0$, then $ρ_{d, E}$ is doubling.
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