AI 中文总结
研究单期凯尔（1985）模型的均衡问题，通过实变量和概率性论证，在仅博雷尔可测性条件下，证明若\(\phi(v)\)使特定量最大化则\(\phi\)是恒等函数，得出凯尔闭式仿射策略是唯一均衡及定价规则线性的结论，解决金融经济学长期问题。
AI 中文摘要
设\(V\)和\(U\)为独立标准正态随机变量。对于任意博雷尔映射\(\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，设\(Y_\phi = \phi(V)+U\)，并定义\(P_\phi(y)=\mathbb{E}[V\mid Y_\phi = y]\)和\(F_\phi(x)=\mathbb{E}[P_\phi(x + U)]\)。我们证明，如果对于每个\(v\in\mathbb{R}\)，量\(\phi(v)\)在\(x\in\mathbb{R}\)上使\(x(v - F_\phi(x))\)最大化，那么\(\phi\)是恒等函数。这是内幕交易的归一化单期凯尔（1985）模型。由此可知，对于任意高斯位置和尺度，凯尔的闭式仿射策略是该模型的唯一均衡，且其规范竞争定价规则必然是线性的。这解决了金融经济学中一个长期存在的问题。布拉托夫、凯尔和利夫丹（2005年、2013年）将复分析技术引入该问题。麦克伦南、蒙泰罗和图尔基（2017年）证明了\(P_\phi\)的线性增长界、\(F_\phi\)的实整正则性以及当均衡策略在局部与唯一可延拓解析函数一致时的唯一性。本证明除了博雷尔可测性之外，对\(\phi\)无需正则性假设。其论证是实变量和概率性的：最大化迫使高斯随机化单调函数的尖锐上下界重合，且相应的等式情形仅允许恒等函数。
英文摘要
Let $V$ and $U$ be independent standard normal random variables. For each Borel-measurable function $ϕ\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, let $P_ϕ\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a Borel version of the inverse regression $y\mapsto\mathbb{E}[V\midϕ(V)+U=y]$. We prove that $ϕ(v)\in\operatorname*{arg\,max}_{x\in\mathbb{R}} \mathbb{E}[(v-P_ϕ(x+U))x]$ for every $v\in\mathbb{R}$ if and only if $ϕ=\operatorname{id}_{\mathbb{R}}$. The rigidity result implies that the one-period Gaussian Kyle (1985) insider-trading model has a unique Borel-measurable equilibrium strategy, namely Kyle's affine strategy. Building on preliminary results of McLennan, Monteiro, and Tourky (2017), the proof establishes that, at equilibrium, the total expected loss of noise traders attains a sharp universal upper bound and that any strategy attaining this bound must be affine almost everywhere.
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