半单代数的矩阵克洛斯特曼和与积迹估计
Matrix Kloosterman sums and product-trace estimates for semisimple algebras
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中文总结 AI 辅助
研究半单代数中满足特定条件的元素数量估计问题，通过定义\(\mathrm{N}(E,r,x,a)\)，证明了相关不等式，验证了万猜想中的平方根估计并推广前人结果，对有限半单代数及正则元素用类似方法结合公式也得到类似估计。
中文摘要 AI 辅助
设\(k = \mathbb{F}_q\)，\(E = \mathbb{F}_{q^n}\)且\(\mathrm{Tr} = \mathrm{Tr}_{E/k}\)。对于\(r\geq2\)，\(a\in k^{\times}\)和\(x\in E^{\times}\)，定义\(\mathrm{N}(E,r,x,a)\)为\((E^{\times})^r\)中满足\(x_1\cdots x_r = x\)且\(\mathrm{Tr}(x_1+\cdots + x_r)=a\)的\(r\)元组\((x_1,\cdots,x_r)\)的数量。证明了\(\left|\mathrm{N}(E,r,x,a)-\left((q^n - 1)^{r - 1}+(-1)^r\right)/q\right|\leq(r^n - 1)q^{\frac{(r - 1)n - 1}{2}}\)。此结果证明了万猜想中的平方根估计并推广了莫伊西奥和万之前的结果。对于有限半单代数\(B=\prod\limits_{i = 1}^s M_{d_i}(\mathbb{F}_{q^{n_i}})\)及正则元素\(x\in B^{\times}\)，同样方法结合泽林格公式可得类似平方根估计。
英文摘要
Let $k=\mathbb{F}_q$, $E=\mathbb{F}_{q^n}$ and $\mathrm{Tr}=\mathrm{Tr}_{E/k}$. For $r\ge 2$, $a\in k^{\times}$ and $x\in E^{\times}$, let $\mathrm{N}(E,r,x,a)$ be the number of $r$-tuples $(x_1,\cdots,x_r)$ in $(E^{\times})^r$ satisfying $x_1\cdots x_r=x$ and $\mathrm{Tr}(x_1+\cdots+x_r)=a$. We prove $\left|\mathrm{N}(E,r,x,a)-\left((q^n-1)^{r-1}+(-1)^r\right)/q\right|\le (r^n-1) q^{\frac{(r-1)n-1}{2}}$. This proves the square-root estimate predicted in Wan's conjecture and generalizes a previous result of Moisio and Wan. For a finite semisimple algebra $B=\prod\limits_{i=1}^s M_{d_i}(\mathbb{F}_{q^{n_i}})$ over $k$ and a regular element $x\in B^{\times}$, the same method combined with Zelingher's formula leads to analogous square-root estimates.
