AI 中文总结
研究通过拉普拉斯变换得到的斐波那契 - 拉普拉斯和卢卡斯 - 拉普拉斯序列，关联序列族并证明其完整性，通过加权彩色平铺和广义莫茨金路径给出组合解释，推导连分数展开式，扩展了前人工作。
AI 中文摘要
我们研究了通过对广义斐波那契型和卢卡斯型多项式应用拉普拉斯变换得到的斐波那契 - 拉普拉斯和卢卡斯 - 拉普拉斯序列。我们关联了这些序列族，并表明对于每个固定的变换参数，斐波那契 - 拉普拉斯序列是完整的。我们通过加权彩色平铺给出了组合解释，得出了递推关系、恒等式以及按多米诺骨牌数量的三角细化。我们还推导了两个连分数展开式，并通过广义莫茨金路径得到了第二种组合解释。这些结果扩展了吉文斯和莫尔的早期工作。
英文摘要
We study the FiboLaplace and LucasLaplace sequences obtained by applying the Laplace transform to generalized Fibonacci-type and Lucas-type polynomials. We relate these families and show that, for each fixed transform parameter, the FiboLaplace sequence is holonomic. We give a combinatorial interpretation in terms of weighted colored tilings, leading to recurrence relations, identities, and a triangular refinement by the number of dominoes. We also derive two continued-fraction expansions and obtain a second combinatorial interpretation in terms of generalized Motzkin paths. These results extend earlier work of Givens and Moll.
