AI 中文总结
研究具有非稠密像的实多项式凯勒映射的一般次数，通过理论分析确定次数为偶数且至少为4，证明大于等于4的偶数都能出现，得出\(n\geq3\)时此类映射一般次数为大于等于4的偶数，二维和一维在特定条件下为空集的结论。
AI 中文摘要
对于具有非零常数雅可比行列式的实多项式映射，即具有非稠密像的实凯勒映射，我们确定了可能的一般次数。这样的次数必然是偶数，且根据坎贝尔定理不同于2，因此至少为4；反之，我们证明每个大于等于4的偶数都能出现，在三维中由2026年7月雅可比猜想反例的变形族中的一个显式成员实现。所以对于每个\(n\geq3\)，从\(\mathbb{R}^{n}\)到\(\mathbb{R}^{n}\)具有非稠密像的实凯勒映射的一般次数恰好是大于等于4的偶数；在二维中，如果平面雅可比猜想成立则该集合为空，在一维中也为空。这里的稠密性是指在欧几里得拓扑中的情况。加拉格尔给出了一个在目标的一个切片上实纤维为空的显式四次实凯勒映射，以及在\(\mathbb{C}\)上实现每个大于等于3的一般次数的族，这两者都早于此注释。
英文摘要
We determine the possible generic degrees of real polynomial Keller maps with non-dense image, where density is understood in the Euclidean topology. For every dimension $n\geq3$, these degrees are exactly the even integers $d\geq4$. They are realized in dimension three by an explicit family $G_d\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$, and hence in every higher dimension by stabilization. In dimension two, any such degree is an even integer at least six, and no such maps exist if the planar Jacobian conjecture holds; in dimension one, none exist. For the family $G_d$, we describe the image exactly and show that no $G_d$ omits a half-space. We also show that the maximal cardinality of a real fibre is not determined by the generic degree and is not uniformly bounded in this class.
