AI 中文总结
研究线性拟随机3-图中紧密哈密顿圈问题，给出反例否定特定条件下存在紧密哈密顿圈的猜想，确定p>1/3时渐近尖锐的最小余度阈值，证明相关充分条件，采用吸收法及新连接引理得出结论。
AI 中文摘要
我们研究线性拟随机3-图中的紧密哈密顿圈。一个n顶点的3-图H若对于所有X,Y,Z⊆V(H)满足e_H(X,Y,Z)≥p|X||Y||Z|-μn^3，则称其为(p,μ)-稠密的。Araújo、Piga和Schacht询问p,α>1/4且δ_2(H)≥αn是否能保证有一个紧密哈密顿圈。我们给出了否定答案：对于每个ε,μ>0以及所有足够大的n，存在一个n顶点的(p_0 - ε,μ)-稠密3-图H，其δ_((2))(H)≥(p_0 - ε)n且没有紧密哈密顿圈，其中p_0 := max_{0≤x≤1} min{x^3,1 - x}≈0.317672。对于每个p>1/3，我们确定了渐近尖锐的最小余度阈值。通过证明当α>δ_0(p)且μ足够小时，每个足够大的(p,μ)-稠密3-图H若δ_2(H)≥αn就包含一个紧密哈密顿圈，且一个匹配构造表明这个阈值是最优的。证明使用了吸收法以及基于正则切片、有向对状态图和有限标量引理的新的固定长度连接引理。
英文摘要
We study tight Hamilton cycles in linearly quasirandom $3$-graphs. An $n$-vertex $3$-graph $H$ is $(p,μ)$-dense if $e_H(X,Y,Z)\ge p|X||Y||Z|-μn^3$ for all $X,Y,Z\subseteq V(H)$. Araújo, Piga and Schacht asked whether the conditions $p,α>1/4$ and $δ_2(H)\geαn$ force a tight Hamilton cycle. We give a negative answer to this question. More generally, we determine the asymptotically sharp minimum-codegree threshold for the existence of a tight Hamilton cycle for every density $p\in(0,1)$. The resulting threshold is a discontinuous piecewise-defined function with four distinct regimes, and matching constructions show that every piece is best possible. The proof combines the absorption method and a fixed-length connecting lemma above density $1/3$ with a canonical-component Hamilton framework at and below density $1/3$.
Comments44 pages, 1 figure
