凸体的法伯 - 克拉恩位置与高斯测度不等式
The Faber-Krahn position of convex bodies and Gaussian measure inequalities
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中文总结 AI 辅助
研究凸体处于法伯 - 克拉恩位置（使第一个狄利克雷特征值在保体积线性轨道内最小化）的唯一性，通过正定线性变形下特征值的对数凸性等方法证明，还得到相关定理新证及其他凸性结果，并改进了中心对称凸体相关不等式界。
中文摘要 AI 辅助
我们称一个凸体处于法伯 - 克拉恩位置，如果它在其保体积线性轨道内使第一个狄利克雷特征值最小化。我们证明了这个位置在正交变换下是唯一的，回答了施穆肯施莱格尔2011年提出的一个问题。这是正定线性变形下第一个特征值新的对数凸性性质的一个推论。虽然中心对称情况可由高斯B定理推出，但扩展到任意凸体需要对条件布朗运动进行定量分析。作为结果，我们得到了三角形的波利亚 - 塞格定理及其单纯形类似定理的新证明，并表明正多边形在其固定体积的线性轨道内使第一个特征值最小化。我们还证明了奥恩斯坦 - 乌伦贝克算子的第一个特征值、逆内半径和平面切格常数的相关凸性结果。在另一个方向上，我们用类似的想法表明，米尔曼 - 中村 - 辻的高斯共轭罗杰斯 - 谢泼德不等式为中心对称凸体的交和闵可夫斯基和产生了改进的施穆肯施莱格尔型界。
英文摘要
We say that a convex body is in Faber-Krahn position if it minimizes the first Dirichlet eigenvalue within its volume-preserving linear orbit. We prove that this position is unique up to orthogonal transformations, answering a question of Schmuckenschlaeger from 2011. This is a corollary of a new log-convexity property of the first eigenvalue under positive definite linear deformations. While the centrally symmetric case follows from the Gaussian B-theorem, the extension to arbitrary convex bodies requires a quantitative analysis of conditioned Brownian motion. As consequences, we obtain a new proof of the Polya-Szego theorem for triangles and its analogue for simplices, and show that regular polygons minimize the first eigenvalue within their linear orbits of fixed volume. We also prove related convexity results for the first eigenvalue of the Ornstein-Uhlenbeck operator, the inverse inradius and the planar Cheeger constant. In a different direction, we show using similar ideas that the Gaussian conjugate Rogers-Shephard inequality due to Milman-Nakamura-Tsuji yields improved Schmuckenschlaeger-type bounds for intersections and Minkowski sums of centrally symmetric convex bodies.
