AI 中文总结
研究可数离散索菲克群作用于紧致可度量化空间时，证明1≤p<∞时索菲克p-度量平均维数与索菲克度量平均维数等价，回答海斯问题，还建立了驯服度量变分公式。
AI 中文摘要
设Γ是一个可数离散索菲克群，通过同胚作用于紧致可度量化空间X，Σ是Γ的一个索菲克逼近。我们证明，对于每个1≤p<∞，索菲克p-度量平均维数与索菲克度量平均维数等价，即存在一个共同值\(D_Σ(X,Γ)∈\{-∞\}∪[0,+∞]\)，使得\(D_Σ(X,Γ)=\mdim_{Σ,\mathrm M,p}(X,Γ)=\mdim_{Σ,\mathrm M,∞}(X,Γ)\)，回答了海斯在文献[问题3]中的一个问题。此外，还建立了一个驯服度量变分公式。即对于每个1≤q≤∞，\(D_Σ(X,Γ)=\inf_{ρ∈\mathcal T(X)}\underline{\mdim}_{Σ,q}(X,ρ)\)，其中\(\mathcal T(X)\)是X上所有具有驯服覆盖数增长的相容度量的集合。
英文摘要
Let $Γ$ be a countable discrete sofic group acting by homeomorphisms on a compact metrizable space $X$ and $Σ$ a sofic approximation of $Γ$. We prove that for every $1\leq p<\infty$, the sofic $p$-metric mean dimension is equivalent to the sofic metric mean dimension, i.e there exists a common value $ D_Σ(X,Γ)\in\{-\infty\}\cup[0,+\infty]$ such that, $$D_Σ(X,Γ)=\mdim_{Σ,\mathrm M,p}(X,Γ) =\mdim_{Σ,\mathrm M,\infty}(X,Γ),$$ which answers a question of Hayes in \cite[Question 3]{Hayes}. Moreover, a tame-metric variational formula is established. That is for every $1\leq q\leq\infty$, $$D_Σ(X,Γ) =\inf_{ρ\in\mathcal T(X)} \underline{\mdim}_{Σ,q}(X,ρ), $$ where $\mathcal T(X)$ is the set of all compatible metrics on $X$ having tame growth of covering numbers.
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