AI 中文总结
研究二维倾斜平面上自由边界不可压缩纳维 - 斯托克斯方程的滚动波解分支，通过解析全局分岔理论技术将局部分支扩展为全局曲线，关键是重新表述问题为椭圆系统，并验证了小波数和低雷诺数下奥尔 - 索末菲方程假设。
AI 中文摘要
我们构建了二维倾斜平面上自由边界不可压缩纳维-斯托克斯方程的行波周期“滚动波”解的一个分支。这些解在相关奥尔-索末菲方程的自然假设下从平行剪切流分岔而来。利用解析全局分岔理论的技术，我们将局部分支扩展为全局解曲线。证明的关键步骤是将问题（包括未知自由边界）重新表述为阿格蒙-道格拉斯-尼伦伯格意义下的椭圆系统。最后，我们验证了两种情况下奥尔-索末菲方程的假设：小波数和低雷诺数。
英文摘要
We construct a branch of travelling periodic `roll wave' solutions to the free-boundary incompressible Navier--Stokes equations on an inclined plane in two dimensions. These solutions bifurcate from a parallel shear flow, under natural assumptions on the related Orr--Sommerfeld equation. Using techniques from analytic global bifurcation theory, we extend the local branch to a global curve of solutions. A key step of the proof is reformulating the problem, including the unknown free boundary, as an elliptic system in the sense of Agmon--Douglis--Nirenberg. Finally, we verify the hypotheses on the Orr--Sommerfeld equation for two regimes: small wavenumber and low Reynolds number.
Comments46 pages, 1 figure
