AI 中文总结
在特征为 2 的域上，给出显式多项式自同态 \(F:\mathbb{A}_k^3\to\mathbb{A}_k^3\)，其雅可比行列式为 1 但非单射，次数为 3 构成对可分雅可比猜想反例，稳定化可得各 \(n\geq3\) 维类似反例。
AI 中文摘要
设 \(k\) 是特征为 2 的域。我们展示了一个显式多项式自同态 \(F:\mathbb{A}_k^3\to\mathbb{A}_k^3\)，其雅可比行列式恒为 1，其诱导的有理函数域扩张次数为 3，但它是非单射的。由于 \(2\neq3\)，这给出了特征 2 下通常的阿达马博或可分形式的雅可比猜想的一个反例。稳定化在每个 \(n\geq3\) 维中产生类似的反例。
英文摘要
Let $k$ be a field of characteristic $2$. We exhibit an explicit polynomial endomorphism $F: \mathbb{A}_k^3\to\mathbb{A}_k^3$ whose Jacobian determinant is identically $1$, whose induced extension of rational function fields has degree $3$, and which is nevertheless noninjective. Since $2\neq 3$, this gives a counterexample to the usual Adjamagbo, or separable, formulation of the Jacobian conjecture in characteristic $2$. Stabilization yields analogous counterexamples in every dimension $n\geq 3$
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