戈德伯森猜想与\(L_p\)-罗杰斯 - 谢泼德不等式
Godbersen's conjecture and the $L_p$-Rogers-Shephard inequality
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- Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
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中文总结 AI 辅助
研究戈德伯森猜想及\(L_p\)-罗杰斯 - 谢泼德不等式，通过证明凸体与其反射体混合体积由单纯形最大化来证实猜想、细化不等式，还证明凸多面体中单纯形是唯一极值点，并借此证明含原点凸体的\(L_p\)-版本不等式及确定其极值点。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了一个凸体与其关于原点的反射体的混合体积由单纯形最大化。这证实了1938年C. 戈德伯森的一个猜想并细化了罗杰斯 - 谢泼德不等式。我们还证明了在凸多面体中，单纯形是唯一的极值点。最后，我们用此不等式证明了含原点凸体的\(L_p\)-版本的罗杰斯 - 谢泼德不等式，且表明对于任意\(p\in(1,\infty]\)，唯一的极值点是顶点在原点的单纯形。
英文摘要
We prove that the mixed volume of a convex body of fixed positive volume with its reflection about the origin is maximized by simplices. This confirms a conjecture of C. Godbersen from 1938 and refines the classical Rogers-Shephard inequality. We also prove that simplices are the only extremizers among convex polytopes. Finally, we use this inequality to prove an $L_p$-version of the Rogers-Shephard inequality for convex bodies containing the origin and show that, for any $p\in(1,\infty]$, the only extremizers are simplices with a vertex at the origin.
