关于\(SU(2)\)的\(xz\)猜想和马蒂厄猜想的反例
Counterexamples to the xz-Conjecture and the Mathieu Conjecture for SU(2)
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中文总结 AI 辅助
研究给出三项洛朗多项式\(f(x,z)\)，通过它反驳了\(xz\)猜想，表明\(\ker{\mathcal I}\)不是马蒂厄 - 赵子空间，还通过积分公式提升到\(SU(2)\)上的函数，证明\(SU(2)\)的马蒂厄猜想为假。
中文摘要 AI 辅助
设\({\mathcal I}(h)=\int_0^1\int_{\mathbb T}h(x,z)\,\frac{dz}{2\pi iz}\,dx\)（\(h\in{\mathbb C}[x,z,z^{-1}]\)）。给出三项洛朗多项式\(f(x,z)=(1 - z^{-1})((1 - x)+xz)\)，使得\({\mathcal I}(f^n)=0\)，\({\mathcal I}(z^{-1}f^n)=\frac{(-1)^{n - 1}}{n + 1}\neq0\)（\(n\geq1\)）。因\({\operatorname{Sp}}(f)=\{-1,0,1\}\)，这反驳了\(xz\)猜想，还表明\(\ker{\mathcal I}\)不是马蒂厄 - 赵子空间。填充可得到\(xz\)猜想各混合情形的反例。通过特定积分公式，该例子提升到\(SU(2)\)上的正则函数\(F=(1 + c)(ad + b)\)，\(G=-c\)，满足\(\int_{SU(2)}F^n\,dg = 0\)，\(\int_{SU(2)}F^nG\,dg=\frac{(-1)^{n - 1}}{n + 1}\neq0\)（\(n\geq1\)），从而\(SU(2)\)的马蒂厄猜想不成立。
英文摘要
Let \[ {\mathcal I}(h)=\int_0^1\int_{\mathbb T}h(x,z)\,\frac{dz}{2πiz}\,dx \qquad \bigl(h\in{\mathbb C}[x,z,z^{-1}]\bigr). \] We give the three-term Laurent polynomial \[ f(x,z)=(1-z^{-1})\bigl((1-x)+xz\bigr) \] for which \[ {\mathcal I}(f^n)=0, \qquad {\mathcal I}(z^{-1}f^n)=\frac{(-1)^{n-1}}{n+1}\neq0 \qquad(n\geq1). \] Since ${\operatorname{Sp}}(f)=\{-1,0,1\}$, this disproves the $xz$-conjecture already with one interval variable and one torus variable, and it also shows that $\ker{\mathcal I}$ is not a Mathieu--Zhao subspace. Padding gives counterexamples to every mixed case of the $xz$-conjecture. Writing the coordinate functions on $SU(2)$ as \[ g=\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}, \] the same example lifts, through the integration formula of Müger and Tuset, to the regular functions \[ F=(1+c)(ad+b),\qquad G=-c, \] which satisfy \[ \int_{SU(2)}F^n\,dg=0, \qquad \int_{SU(2)}F^nG\,dg=\frac{(-1)^{n-1}}{n+1}\neq0 \] for every $n\geq1$. Thus the Mathieu conjecture for $SU(2)$ is false.
