循环覆盖与非轨道 3 - 表示有限对称代数
Cyclic covers and non-orbit 3-representation-finite symmetric algebras
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中文总结 AI 辅助
在特征为零的代数闭域上，展示两个 3 - 表示有限但非轨道代数的对称代数，通过构造 3 - 簇倾斜模、利用幂等导数检测分次及箭字符群限制覆盖等方法，回答了相关问题，84 维 3 - 球面加权曲面代数也有类似结论。
中文摘要 AI 辅助
在特征为零的代数闭域上，我们展示了两个 3 - 表示有限的对称代数，但它们不是重复范畴的轨道代数。第一个是\(Q(3A)^2_2\)的 36 维特征零提升\(A\)，Böhmler 和 Marczinzik 证明其在特征 2 下是 3 - 表示有限的四元数型代数，我们构造了一个明确的 3 - 簇倾斜模。我们表明，连通对称代数的任何轨道表示都会迫使该代数或其连通循环覆盖承认一个半维平方为零的分次。此类分次由幂等导数检测，并且有限的箭字符群限制了可能的覆盖。对于\(A\)，只剩下三个双覆盖候选者，且导数障碍排除了所有这些候选者。因此，无论全局维数如何，\(A\)都不是任何有限维代数的轨道代数，回答了 Darpö 和 Iyama 的一个问题。84 维的 3 - 球面加权曲面代数同样是 3 - 表示有限且不是轨道代数。
英文摘要
Over an algebraically closed field of characteristic zero, we exhibit two symmetric algebras that are 3-representation-finite but are not orbit algebras of repetitive categories. The first is a 36-dimensional characteristic-zero lift $A$ of $Q(3A)^2_2$, the quaternion-type algebra that Böhmler and Marczinzik proved 3-representation-finite in characteristic 2; we construct an explicit 3-cluster-tilting module. We show that any orbit presentation of a connected symmetric algebra forces the algebra, or a connected cyclic cover of it, to admit a half-dimensional square-zero grading. Such gradings are detected by idempotent derivations, and a finite group of arrow characters constrains the possible covers. For $A$, only three double-cover candidates remain and the derivation obstruction excludes all of them. Thus $A$ is not an orbit algebra of any finite-dimensional algebra, regardless of global dimension, answering a question of Darpö and Iyama. The 84-dimensional 3-spherical weighted surface algebra is likewise 3-representation-finite and not an orbit algebra.
