图兰定理的正平方能量强化
A positive square-energy strengthening of Turán's theorem
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中文总结 AI 辅助
研究关于\(n\)顶点图\(G\)的正邻接特征值平方和\(s^+(G)\)与团数\(\omega(G)\)的关系，核心方法是将定理简化为双非负矩阵的莫茨金 - 施特劳斯不等式并通过局部逆概率估计证明，主要贡献是强化了威尔夫定理并解决猜想。
中文摘要 AI 辅助
设\(G\)是一个具有\(n\)个顶点且团数为\(\omega(G)\)的图，\(s^+(G)\)表示正邻接特征值平方的和。我们证明了\(\sqrt{s^+(G)}\leq(1 - \frac{1}{\omega(G)})n\)。这强化了威尔夫的经典谱图兰定理并解决了埃尔菲克和沃钱的一个猜想。通过采用我们关于平方能量猜想的配套论文中的松弛方法，将该定理简化为双非负矩阵的莫茨金 - 施特劳斯不等式，并通过对补图上卡罗 - 魏贪婪算法的局部逆概率估计来证明。
英文摘要
Let $G$ be an $n$-vertex graph with clique number $ω(G)$, and let $s^+(G)$ denote the sum of the squared positive adjacency eigenvalues. We prove that $$ \sqrt{s^+(G)}\le\left(1-\frac{1}{ω(G)}\right)n. $$ This strengthens Wilf's classical spectral Turán theorem and resolves a conjecture of Elphick and Wocjan. Adopting the relaxation of our companion paper on the square-energy conjecture, we reduce the theorem to a Motzkin--Straus inequality for doubly nonnegative matrices, which we prove via a local inverse-probability estimate for the Caro--Wei greedy algorithm on the complement.
