发表机构
Nanjing University（南京大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
研究二次域的\(\Z_p\)-扩张上有理椭圆曲线的挠率，\(p\geq5\)时通过修复证明伽罗瓦点问题及排除障碍证得\(E(L)_{\tors}=E(K)_{\tors}\)，\(p = 3\)时给出斜率分层及相关结论。
AI 中文摘要
设\(E/\Q\)为椭圆曲线，\(K\)为二次域，\(L/K\)为\(\Z_p\)-扩张。我们重新审视了\(p>5\)时Avcı关于\(E(L)_{\tors}=E(K)_{\tors}\)等式的定理，并阐明了其证明中所需的一个\(\Q\)上的伽罗瓦点：辅助下降引理是\(\Q\)上的有限伽罗瓦陈述，而虚二次域的一般混合\(\Z_p\)-扩张的有限层不一定是\(\Q\)上的伽罗瓦扩张。我们通过用从分圆和反分圆方向构建的有限伽罗瓦包络替换有限层来修复此问题。然后，通过二次扭转和\(\Q_{\infty,5}\)上的Chou - Daniels - Krijan - Najman定理排除剩余的循环\(25\)-挠障碍，我们证明了对于每个\(p\geq5\)，包括之前特殊的素数\(p = 5\)，都有\(E(L)_{\tors}=E(K)_{\tors}\)。最后，对于\(p = 3\)和虚二次\(K\neq\Q(\sqrt{-3})\)，我们给出了一个斜率分层：\(E(L)_{\tors}\)的奇数部分来自\(L\cap K_{\cyc}\)，而\(2\)-主部来自\(L\cap K(E[2])\)。特别地，两个斜率坐标均为\(3\)-adic单位的剩余类没有挠率增长，反分圆剩余类仅能贡献\(2\)-主部增长，并且所有新的奇数挠率都被迫进入分圆剩余类。奇数循环子群的可能阶被明确界定，并且在分层所涵盖的情况下排除了\(13\)-挠率。
英文摘要
Let $E/\Q$ be an elliptic curve and let $\widetilde K_p$ be the compositum of all $\Z_p$-extensions of a quadratic field $K$. We prove that $E(\widetilde K_p)_{\tors}=E(K)_{\tors}$ for $p\geq5$. For $p=3$ and imaginary quadratic $K\neq\Q(\sqrt{-3})$, torsion on each extension is determined by its intersections with the cyclotomic extension and the $2$-division field. Over $\Q(\sqrt{-3})$, we construct infinitely many non-CM curves with full $3$-torsion in the first anticyclotomic layer and compute the $3$-primary torsion on every slope for eight CM curves. For $p=2$, we bound the odd-primary torsion and exclude all primes greater than $7$. We also give uniform bounds for non-CM primary torsion and correct two assertions in Li's preprint about noncyclotomic $\Z_3$-extensions.
