AI 中文总结
研究球面上格伦鲍姆不等式类似结果，针对\(n \geq 3\)时\(\mathbb{S}^{n - 1}\)上质心为\(\theta\)的凸体\(K\)，给出与\(\theta\)正交的\(u\)相关不等式，证明该不等式常数最优。
AI 中文摘要
我们证明了球面上格伦鲍姆不等式的一个类似结果。设\(n \geq 3\)，\(K\)是\(\mathbb{R}^n\)中\(\mathbb{S}^{n - 1}\)上的凸体，其质心在\(\theta\in \mathbb{S}^{n - 1}\)。对于任何与\(\theta\)正交的\(u\in \mathbb{S}^{n - 1}\)，有\(\sigma(K\cap u^+) \geq \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n - 1} \sigma(K)\)，其中\(\sigma\)表示球面测度，此不等式中的常数是最优的。
英文摘要
We prove an analogue of Grünbaum's inequality on the sphere. Let $n \geq 3$ and let $K$ be a convex body on $\mathbb S^{n-1}\subset \mathbb R^n$ with centroid at $θ\in \mathbb S^{n-1}$. Then for any $u\in \mathbb S^{n-1}$ that is orthogonal to $θ$ we have $$σ(K\cap u^+) \ge \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1} σ(K),$$ where $σ$ denotes the spherical measure. The constant in this inequality is optimal.
Comments19 pages, 5 figures
